Las derivadas

Las derivadas

¿Que es una derivada?

En una función, Es un límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.

s

La variable "a", viene siendo como la "x" de la funcion f(x), La "h" es el incremento que tiende a cero en base al limite como se explico.

La razón por la que se añade la "h" es para determinar el incremento diferencial que hay al derivar una operación u ecuación.

Las formulas de las derivadas

En esta sección vamos a poner las formulas y vamos a explicar cada una de ellas.

1. Derivada de una constante.

f(x) = k

f'(x) = 0

"k" seria una constante

En esta primera formula vemos claramente que al derivar una constante el resultado nos sale nulo, es como si la "k" fuera un numero, entonces no se generaría ninguna sola diferencia al tratar de llevar a cabo esto, por lo tanto la derivada de una constante es nula.

2. Derivada de "x"

f(x) = x

f'(x) = 1

Claramente estamos derivando "x", entonces como "x" consideramos el valor, en fin la función "f(x)" hace que estemos a función de la variable "x", por lo que nuestras ecuaciones para derivar dependerán de "x", Por lo tanto si quisieramos sustituir unos numeros consecutivos uno por uno, la diferencial seria 1, ya que no lleva coeficiente

En otro caso si la ecuación fuera asi

f(x) = 2x

La derivada seria 2, ya que esa es su diferencial de "x"

3. Derivada de una función lineal

f(x) = ax + b

f'(x) = a

Aqui tenemos otro caso, la función que tenemos se trata de un binomio, en el cual se incluye un termino lineal y el otro independiente, En este caso el lineal contiene una variable "x", y el otro termino independiente no lo trae, en conclusión la derivada de esa función terminaría siendo el equivalente a la variable "a" y mientras que el otro termino independiente queda eliminado por no contener la "x" ya que de ese termino no se genera diferencia.

Ejemplo:

f(x) = 5x + 3

f'(x) = 5

4. Derivada de una potencia

f(x) = u^n

f'(x) = n * u^(n-1)

Ejemplo:

f(x) = 2x^3

f'(x) = 3 * 2x^(3-1)

f'(x) = 6x^2

Cuando tengamos que derivar una función con potencia, hay que tomar en cuenta el termino que se esta elevando y el valor de la potencia, La derivada seria igual a multiplicar la función original es decir como ven en el ejemplo, Se multiplica esa misma función original sin derivar por la potencia en la que se eleva a la variable "u" y al final se le resta 1 a la potencia de la que se trate.

5. Derivada de una raíz cuadrada

√, es el símbolo de la raíz cuadrada.

f(x) = √u

f'(x) = u' ÷ (2√u)

Cuando tenemos una raíz cuadrada, tenemos que convertirla a fracción la cual seria lo mismo: √u = u^(1/2), De acuerdo a las propiedades de las raices y potencias.

Entonces derivamos primero la "u" y la derivada lo que salga seria como un coeficiente para la respuesta final, Ya restandole 1 al exponente obtenemos como nuevo exponente -1/2, entonces nos quedaria asi la respuesta: u' * 1/2 * u^(-1/2)

Cuando tengamos un exponente negativo en el numerador, para pasarlo a positivo tendriamos que pasarlo al denominador, de acuerdo a las propiedades de exponentes y raices. Entonces tenemos en cuenta que es lo mismo x^(-2) que 1 / x^2

Asi nos quedaria: 1/2 * u' ÷ u^(1/2), y convirtiendo la fraccion a raiz: u' ÷ 2√u

El numero "2", aparece porque como vimos en la formula anterior, se multiplica por el exponente del que se trataba, en este caso se multiplico por la mitad, por lo tanto tendriamos una division entre 2 aplicada factorizadamente.

Esta formula se puede hacer con la Formula 4 que mencione arriba, solo hay que pasar los exponentes al numerador y convertir las raices a exponente fraccional.

En conclusion, el valor del exponente o potencia al aplicar esta quinta formula siempre sera 1/2, y siempre resultara una division entre 2.

Ejemplo:

f(x) = √(5x)

Teniendo esta formula 

f(x) = √u

f'(x) = u' ÷ (2√u)

Entonces tenemos en cuenta que "k" es el coeficiente (aunque no aparezca, en caso de que apareciera tendria que multiplicarse el resultado por el coeficiente).

La "u" es la expresion algebraica que esta dentro de la raiz y hay que derivar

En este caso la derivada de 5x seria 5

Por lo tanto quedaria asi

f'(x) = 5 ÷ [2√(5x)]

f(x) = 5 ÷ [2√(5x)]

6. La derivada de una función con exponente fracciónal.

f(x) = ku^(a/b)

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

k = Coeficiente

u = Una expresión algebraica

a = El numerador del exponente

b = El denominador del exponente

f(x) = 4x^(5/3)

k = 4, u = x, a = 5, b = 3

NOTA: Las operaciones como las raices y potencias no se llegaran a entender muy bien ya que esto lo estoy escribiendo a base en texto, por lo tanto estoy poniendolas a partir de que los exponentes están en fracción.

Tomando en cuenta ese ejemplo de operacion:

Volvamos a poner la formula:

f(x) = ku^(a/b)

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

f(x) = 4x^(5/3)

k = 4, u = x, a = 5, b = 3

Tenemos los valores y la función, A la respuesta le sustituimos dichos valores.

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

f'(x) = (5)(4)(1)*x^(5/3 - 1) ÷ 3

f'(x) = 20x^(2/3) ÷ 3

La respuesta es asi ya que tenemos en cuenta que lo que multiplicamos es la derivada de "u", luego el coeficiente, la variable de "u" permanecía pero se le restaba un entero a la fracción y el numerador del exponente se multiplicaba y como el exponente era una fracción, se dividia entre el denominador del exponente, Tenemos en cuenta que el exponente es un factor de multiplicación para obtener nuestra respuesta.

NOTA: Ya de alli no lo convertire a raiz ya que no tengo como escribirlo en fracción, pero ustedes mismos podrán hacerlo ;)

Si no se entendio este procedimiento, les sugiero que vean acerca de la "Regla de la Cadena".

7. La derivada de una suma o resta.

f(x) = u ± v

f'(x) = u' ± v'

Supongamos que las variables "u" y "v", son expresiones algebraicas, funciones o mas bien monomios, en este caso alli podemos aplicar lo que aprendimos con las primeras cuatro formulas, supongamos la siguiente funcion.

f(x) = 5x^3 + 4x^2

El primer monomio es 5x^3, y el segundo es 4x^2.

Tenemos que derivar cada uno de los monomios.

Ya derivados tenemos "15x^2" y "8x" respectivamente.

Entonces respectivamente dependiendo de donde correspondan dichos terminos, quedara asi la ecuación:

f(x) = 5x^3 + 4x^2

f'(x) = 15x^2 + 8x

8. Derivada de un producto.

f(x) = u * v

f'(x) = u' * v + u * v'

Tenemos la siguiente función a resolver:

f(x) = (7x^5)(6x^4)

u = 7x^5, v = 6x^4

Derivamos dichas funciones, por lo tanto obtendremos:
u' = 35x^4, v' = 24x^3

Tenemos los datos suficientes para sustituir la respuesta

f(x) = u * v

f'(x) = u' * v + u * v'

Entonces, sustituimos lo que esta subrayado arriba.
Tenemos los datos:
u = 7x^5, u' = 35x^4
v = 6x^4, v' = 24x^3

Sustituyendo dicha formula subrayada tenemos lo siguiente:
f'(x) = u' * v + u * v'
f'(x) = (35x^4)*(6x^4) + (7x^5)*(24x^3)
f'(x) = (210x^8) + (168x^8)
f'(x) = 378x^8

Para resolver mediante esta formula que nos sirve para derivar un producto, tenemos dos terminos en dicha función, tenemos que derivar ambos terminos, entonces la respuesta seria equivalente al producto de la derivada de "u" y la función "v" mas el producto de la derivada de "v" y la función "u".

9. Derivada de un cociente

f(x) = u / v

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

Tenemos la siguiente función a resolver:

(8x^7) / (3x^4)

Tenemos que:

u = 8x^7, v = 3x^4

Sustituimos dichos terminos o funciones.

Nos quedaria:

u' = 56x^6. v' = 12x^3

Tenemos los datos suficientes para sustituir dicha respuesta:

f(x) = u / v

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

Sustituimos lo que tenemos arriba, tenemos los sig. datos:

u = 8x^7, u' = 56x^6

v = 3x^4, v' = 12x^3

Recordemos que tenemos que hacer una división donde elevamos la función "v" al cuadrado, por lo tanto: v^2 = (3x^4)^2 = 9x^8

Sustituyendo dicha formula que deba resultar tenemos que:

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

f'(x) = [(56x^6)*(3x^4) - (8x^7)*(12x^3)] / 9x^8

f'(x) = [168x^10 - 96x^10] / 9x^8

f'(x) = (72x^10) / 9x^8

f'(x) = 8x^2

10. Derivada de una constante partida por una función

f(x) = k / u

f'(x) = -k * u' / u^2

Por ultimo tenemos esta formula en el cual se trata de una función donde tiene que ver con inversas o reciprocas, La variable "u" cuyo exponente o potencia sera igual a -1, y como resultado al derivar terminara con una potencia de -2, luego se multiplicara por el dicho exponente osea por -1, y por la derivada de "u", tal como se ve en la formula, mientras que la "k" es un factor o un coeficiente, Vamos a aplicarla:

u = x, u' = 1

f(x) = 12 / x

f'(x) = -12 * 1 / x^2

f'(x) = -12 / x^2

Podemos considerar que f(x) = 12 / x, es igualito a f(x) = 12x^(-1), haciendo lo de la formula 4, podemos llegar a la misma respuesta.

Es decir se multiplica dicha función por el exponente y se le resta 1 al exponente del que se trate.

Entonces: (-1)*12x^(-1-1) = -12x^(-2) = -12 / x^2

Conclusion de las derivadas

Todavía quedan mas formulas de derivadas por poner por mientras puse las formulas de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias, raices...

Hay mas formulas que son logaritmicas, exponenciales y trigonómetricas.

Muy pronto hare otra entrada como esta pero continuando con las formulas.

Estense atentos :), Muchas gracias por su atención.

Productos Notables - Binomios Cuadrados

Los Productos Notables se tratan de las Reglas de las Ecuaciones que se plantean, y como se van aplicando paso a paso. Si te interesa saber o repasar, lee esta entrada.

1. Cuadrado de un Binomio

Cuando se eleva al Cuadrado a un binomio tiene de ley, que ocurre lo siguiente:

Tomemos como ejemplo la ecuacion:

(x+5)² = x² + 10x + 25

El Siguiente Binomio que se eleva al Cuadrado se expresa algebraicamente, que un numero aumentado en tres se eleva al cuadrado. (La respuesta se muestra alli mismo)

Multiplicando el mismo binomio dos veces, tambien obtienes el resultado

(x+5)(x+5):

Ten en cuenta que se multiplica el 1er Termino que es ''x'' de la 1era Variante (x+5), es decir: (x)(x+5) se multiplican y obtenemos x² + 5x, y luego hacemos lo mismo, nomas que ahora usamos el 2do Termino (El 5) de la misma variante de ''x+5'' y entonces (5)(x+5) se obtiene 5x + 25

Esos dos resultados que se hayan obtenido anteriormente, el ''x² + 5x'' y ''5x + 25'', Ahora se suman y tenemos ''x² + 5x + 5x + 25'' y simplificado obtenemos ''x² + 10x + 25''

La Diferencia de una Ecuacion al Cuadrado

Cuando el 2do Termino de la Variante su cociente es negativo, asi queda:

(x-5)² = x² - 10x + 25

Lo que realmente afecta es en el 2do Termino del Trinomio que obtenemos

Hay una regla que te puede explicar una forma mas facil de resolver esto.

Ya como hemos visto, Si repasastes lo anterior que puse, entonces se entiende mas bien entonces.

Cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un Trinomio Cuadrado Perfecto. y tiene tres terminos que se pueden obtener facil por la Siguiente Regla:

El 1er Termino del Trinomio: La Variable es Cuadrada, y se obtiene elevando el 1er Termino del Binomio al Cuadrado.

El 2do Termino del Trinomio: La Variable es Lineal, y se obtiene multiplicando el 1er Termino y 2do Termino (Tambien debe incluir el Signo del Termino) y luego se duplica (Multiplicar por dos, al final.).

El 3er Termino del Trinomio: No tiene variable, solo es un Cociente, y se obtiene elevando el 2do Termino del Binomio al Cuadrado, Sin importar que el Termino sea negativo o positivo, siempre el resultado sera positivo, ya que lo aplica la ley de los signos

(x-4)² = x² - 8x + 16

1er Termino: (x)(x) = x², 2do Termino: (2)(x)(-4) = -8x, 3er Termino: (-4)(-4)

Ejemplos:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(ax + b)² = a²x² + 2abx + b²

(ax + by) = a²x² + 2abxy + b²y²

(x+4)² = x² + 8x + 16

(2x-6)² = 4x² - 24x + 36

(3x-7)² = 9x² - 42x + 49

(4x+16)² = 16x² + 32x + 256

(6x+29)² = 36x² + 58x + 841

(7x-47)² = 49x² - 94x + 2209

(26x² + 21y) = 676x^4 + 546x²y + 441y²

NOTA: Cuando escribi el sufijo ''^4'' me refiero a que tiene como exponente 4 y se esta elevando

Si el 1er Termino del Binomio tiene un Coeficiente mayor que 1, entonces queda asi:

(4x - 6)² = 16x² - 48x + 36

1er Termino: (4x)(4x) = 16x², 2do Termino: (4x)(-6)(2) = -48x, 3er Termino = (6)(6)

NOTA: Repasa las Reglas y recuerda que cuando en el 1er Termino aparece como Coeficiente diferente a uno, se debe aplicar como va la regla, Arriba esta los ejemplos y paso de: (4x - 6)²

2. Binomios Conjugados

Un Binomio conjugado es aquel, que cuando los Cocientes y Variables son iguales en los dos binomios pero la diferencia es el signo osea, que se multiplica la suma y la diferencia entre si mismos.

(6x + 7)(6x - 7) = 36x² - 49

El resultado sale diferente pero el caso es que no tiene variante lineal (Exponente 1). Ya que cuando se hico la multiplicacion ocurrio que: (6x + 7)(6x - 7)

Primero se multiplico 6x(6x - 7) y dio 36x² - 42x

Luego se multiplico 7(6x - 7) y dio 42x - 49

En este caso juntando los terminos, da 36x² + 42x - 42x - 49

Y lo que ocurre es con el ''42x'' que tienen coeficiente y variable igual pero diferente signo y se restan y entonces dan como resultado un termino nulo que no se escribe en el resultado.

Y termina quedando como ''36x² - 49

La Regla de los Binomios conjugados esta muy facil!

Al hacer esa multiplicacion de los binomios conjugados termina dando un Binomio, lo cual que el Termino que soliamos ver en el resultado ya no aparece ya que es nulo su valor. en diferencia a los binomios que estan anteriormente.

La regla: El 1er Termino al Cuadrado menos el 2do Termino al Cuadrado

Ejemplos:

(a + b)(a - b) = a² - b²

(ax + b)(ax - b) = a²x² - b²

(ax + by)(ab - xy) = a²x² - b²y²

(x + 9)(x - 9) = x² - 81

(6c + 22)(6c - 22) = 36c² - 484

(51p + 14r)(51p - 14r) = 2601p² - 196r²

3. Binomios con termino comun

Cuando los binomios tienen termino comun es cuando unos terminos entre los dos binomios se repite una variante, La que esta marcada en azul

(x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

(x + 4)(x + 6) = x² + 10x + 24 = (x)(x) + (4+6)x + (4)(6)

Aqui lo que pasa con los tres terminos del Resultado que da un Trinomio Cuadrado Perfecto, es que:

En la 1era: se eleva el 1er Termino de cada binomio al Cuadrado por si son iguales, en caso de que tengan diferente coeficiente o variable u ambos, se deben multiplicar los dos primeros terminos de cada binomio

En la 2da: se obtienen que si se multiplican cruzadamente es decir que el 1er Termino del 1er Binomio por el 2do Termino del 2do Binomio y asi, se obtienen dos productos, y esos productos se deben sumar alli se explica muy bien en el ejemplo de arriba (El que esta subrayado), En ese caso la Variables de los 1eros Terminos son iguales, entonces los 2dos terminos se suman y se multiplica por la variable comun de los binomios.

En el 3er y ultimo termino: Da como resultado del ultimo termino, el Producto de los segundos terminos de cada binomio, tal como se da en el 1er Termino

Cuando los Signos son diferentes pero con termino comun

Tal como parece, ahora debemos usar la Ley de los Signos para entender esto.

(x + a)(x - b) = x² + (a-b)x + ab

(x + 4)(x - 6) = x² - 2x - 24 = (x)(x) + (4-6)x + (4)(-6)

(x - 4)(x + 6) = x² + 2x - 24 = (x)(x) + (-4+6)x + (-4)(6)

Vemos alli que los dos binomios tienen en diferencia el signo, En lo cual ya que tenemos la Regla explicada en lo anterior. Pero vamos a intentar con el Ejemplo

(x + 4)(x - 6)

Se multiplica el 1er Termino de un Binomio cualquiera por el otro Binomio

x(x-6) = x² - 6x

Se multiplica el 2do Termino del mismo binomio determinado por el otro

4(x-6) = 4x - 24

Se suma los dos resultados: en lo cual queda asi: x² - 6x + 4x - 24,

Entonces el unico que se puede restar es la que esta subrayada

Una pequeña diferencia en los signos con los Coeficientes

Si el 4 y 6 hubiese intercambiado signos, el Resultado cambiaria en el 2do Termino

Ten en cuenta eso

Es decir el 4 era positivo y el 6 negativo, y dio, (x+4)(x-6) = x² - 2x - 24

Bueno pero si 4 fuese negativo y el 6 positivo... (x-4)(x+6) = x² + 2x - 24

Asi lo aplica la regla para el 2do Termino... Se suman productos de los terminos cruzados de los binomios,

Ten en cuenta tambien cuando ambos coeficientes sean negativos

Cuando una ecuacion este como: (x - 9)(x - 7) = Se sigue que queda como x² - 16x + 63

En el 1ero no afecta para nada.

En el 2do Termino se restan los coeficientes y estan multiplicados por la misma variable

En el 3er Termino se multiplica pero queda positivo, ya que se sigue que (-)(-) = +

Ejemplos:

(x+10)(x-6) = x² + 4x - 60

(x + 9)(x - 13) = 40x² - 7x - 91

4. Binomios con termino semejante

Algo asi ocurre cuando todos los terminos no son iguales, ni los 1eros terminos de los binomios. Pero cuando tienen la misma variante.

(7x + 5)(4x - 6) = 28x² - 22x - 30

Ten en cuenta a los cuatros terminos que se muestran, cada binomio tiene dos terminos

Para no confundirse En el 1er Binomio, el 1er Termino lo marcaremos de rojo, y el 2do Termino; de Naranja y en el 2do Binomio el 3ero; de Verde y 4to; de Azul

Para resolverlo debes seguir la regla para esto:

Para el 1er Termino: Debemos multiplicar los 1eros Terminos de cada binomio. (El 1ero y el 3ero). 

Es decir que multiplicamos (7x)(4x) y obtenemos ''28x²''

Para el 2do Termino tenemos que usar la regla de los productos cruzados y luego sumarlos, Es decir, Para obtener el producto cruzado, Primero multiplica el 1er Termino por el 4to Termino, los que tienen menos en comun entre si, Y luego multiplica el 2do Termino por el 3er Termino, y ya obtenidos los dos productos cruzados los sumamos.

(7x)(-6) = -42x

(5)(4x) = 20x

(7x)(-6)+(5)(4x) = -42x + 20x = -22x

Recuerda que si tienen ambos binomios la misma variable o letra, puedes hacerlo directamente, Bien que la variable es ''x'' y tenemos (7)(-6) + (5)(4) = -42 + 20 = -22 y luego se multiplica por la variable osea; -22(El resultado) por ''x''(La variable) y obtenemos facilmente el resultado (-22x)

NOTA: El Producto cruzado originalmente se usa mas en las Fracciones pero tambien te puede hacer util para lo de los binomios.

Para el 3er Termino ya nomas hacemos lo mismo que en el 1ero, multiplicar los 2dos terminos de cada binomio (El 2do y el 4to),

Osea multiplicamos (5)(-6) = y obtenemos ''-30''

Y el resultado viene siendo: 28x² - 22x - 30

Se suman los tres resultados que obtuvimos repasando las reglas.

Ejemplos:

(21x - 9)(13x + 32) = 273x² - 555x - 288

(17x - 14)(10x - 6) = 170x² - 242x + 84

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

Cuando los binomios tienen diferente variable

Cuando aparece algo asi como: (9a - 5)(4b + 12), Hacemos lo siguiente...

9a(4b + 12) = 36ab + 108a

-5(4b + 12) = -20b - 60ab

Y tenemos: 108a + 36ab - 60ab - 20b

Y obtenemos: 108a - 24ab - 20b

Cuando tenemos como: (6r + 11s)(4t + 13u)

6r(4t + 13u) = 24rt + 78ru

11s(4t + 13u) = 44st + 143su

El resultado no se puede simplificar por las variables semejantes

Y queda: 24rt + 78ru + 44st + 143su

Espero que te haya gustado este Aprendizaje de los Binomios Conjugados con los Binomios al Cuadrado, Hace mucho que no publico nada aqui, asi que pronto hare la Parte de los Binomios al Cubo. Gracias por leer esto. :)