1. Cuadrado de un Binomio
Cuando se eleva al Cuadrado a un binomio tiene de ley, que ocurre lo siguiente:
Tomemos como ejemplo la ecuacion:
(x+5)² = x² + 10x + 25
El Siguiente Binomio que se eleva al Cuadrado se expresa algebraicamente, que un numero aumentado en tres se eleva al cuadrado. (La respuesta se muestra alli mismo)
Multiplicando el mismo binomio dos veces, tambien obtienes el resultado
(x+5)(x+5):
Ten en cuenta que se multiplica el 1er Termino que es ''x'' de la 1era Variante (x+5), es decir: (x)(x+5) se multiplican y obtenemos x² + 5x, y luego hacemos lo mismo, nomas que ahora usamos el 2do Termino (El 5) de la misma variante de ''x+5'' y entonces (5)(x+5) se obtiene 5x + 25
Esos dos resultados que se hayan obtenido anteriormente, el ''x² + 5x'' y ''5x + 25'', Ahora se suman y tenemos ''x² + 5x + 5x + 25'' y simplificado obtenemos ''x² + 10x + 25''
La Diferencia de una Ecuacion al Cuadrado
Cuando el 2do Termino de la Variante su cociente es negativo, asi queda:
(x-5)² = x² - 10x + 25
Lo que realmente afecta es en el 2do Termino del Trinomio que obtenemos
Hay una regla que te puede explicar una forma mas facil de resolver esto.
Ya como hemos visto, Si repasastes lo anterior que puse, entonces se entiende mas bien entonces.
Cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un Trinomio Cuadrado Perfecto. y tiene tres terminos que se pueden obtener facil por la Siguiente Regla:
El 1er Termino del Trinomio: La Variable es Cuadrada, y se obtiene elevando el 1er Termino del Binomio al Cuadrado.
El 2do Termino del Trinomio: La Variable es Lineal, y se obtiene multiplicando el 1er Termino y 2do Termino (Tambien debe incluir el Signo del Termino) y luego se duplica (Multiplicar por dos, al final.).
El 3er Termino del Trinomio: No tiene variable, solo es un Cociente, y se obtiene elevando el 2do Termino del Binomio al Cuadrado, Sin importar que el Termino sea negativo o positivo, siempre el resultado sera positivo, ya que lo aplica la ley de los signos
(x-4)² = x² - 8x + 16
1er Termino: (x)(x) = x², 2do Termino: (2)(x)(-4) = -8x, 3er Termino: (-4)(-4)
Ejemplos:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(ax + b)² = a²x² + 2abx + b²
(ax + by) = a²x² + 2abxy + b²y²
(x+4)² = x² + 8x + 16
(2x-6)² = 4x² - 24x + 36
(3x-7)² = 9x² - 42x + 49
(4x+16)² = 16x² + 32x + 256
(6x+29)² = 36x² + 58x + 841
(7x-47)² = 49x² - 94x + 2209
(26x² + 21y) = 676x^4 + 546x²y + 441y²
NOTA: Cuando escribi el sufijo ''^4'' me refiero a que tiene como exponente 4 y se esta elevando
Si el 1er Termino del Binomio tiene un Coeficiente mayor que 1, entonces queda asi:
(4x - 6)² = 16x² - 48x + 36
1er Termino: (4x)(4x) = 16x², 2do Termino: (4x)(-6)(2) = -48x, 3er Termino = (6)(6)
NOTA: Repasa las Reglas y recuerda que cuando en el 1er Termino aparece como Coeficiente diferente a uno, se debe aplicar como va la regla, Arriba esta los ejemplos y paso de: (4x - 6)²
2. Binomios Conjugados
Un Binomio conjugado es aquel, que cuando los Cocientes y Variables son iguales en los dos binomios pero la diferencia es el signo osea, que se multiplica la suma y la diferencia entre si mismos.
(6x + 7)(6x - 7) = 36x² - 49
El resultado sale diferente pero el caso es que no tiene variante lineal (Exponente 1). Ya que cuando se hico la multiplicacion ocurrio que: (6x + 7)(6x - 7)
Primero se multiplico 6x(6x - 7) y dio 36x² - 42x
Luego se multiplico 7(6x - 7) y dio 42x - 49
En este caso juntando los terminos, da 36x² + 42x - 42x - 49
Y lo que ocurre es con el ''42x'' que tienen coeficiente y variable igual pero diferente signo y se restan y entonces dan como resultado un termino nulo que no se escribe en el resultado.
Y termina quedando como ''36x² - 49
La Regla de los Binomios conjugados esta muy facil!
Al hacer esa multiplicacion de los binomios conjugados termina dando un Binomio, lo cual que el Termino que soliamos ver en el resultado ya no aparece ya que es nulo su valor. en diferencia a los binomios que estan anteriormente.
La regla: El 1er Termino al Cuadrado menos el 2do Termino al Cuadrado
Ejemplos:
(a + b)(a - b) = a² - b²
(ax + b)(ax - b) = a²x² - b²
(ax + by)(ab - xy) = a²x² - b²y²
(x + 9)(x - 9) = x² - 81
(6c + 22)(6c - 22) = 36c² - 484
(51p + 14r)(51p - 14r) = 2601p² - 196r²
3. Binomios con termino comun
Cuando los binomios tienen termino comun es cuando unos terminos entre los dos binomios se repite una variante, La que esta marcada en azul
(x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab
(x + 4)(x + 6) = x² + 10x + 24 = (x)(x) + (4+6)x + (4)(6)
Aqui lo que pasa con los tres terminos del Resultado que da un Trinomio Cuadrado Perfecto, es que:
En la 1era: se eleva el 1er Termino de cada binomio al Cuadrado por si son iguales, en caso de que tengan diferente coeficiente o variable u ambos, se deben multiplicar los dos primeros terminos de cada binomio
En la 2da: se obtienen que si se multiplican cruzadamente es decir que el 1er Termino del 1er Binomio por el 2do Termino del 2do Binomio y asi, se obtienen dos productos, y esos productos se deben sumar alli se explica muy bien en el ejemplo de arriba (El que esta subrayado), En ese caso la Variables de los 1eros Terminos son iguales, entonces los 2dos terminos se suman y se multiplica por la variable comun de los binomios.
En el 3er y ultimo termino: Da como resultado del ultimo termino, el Producto de los segundos terminos de cada binomio, tal como se da en el 1er Termino
Cuando los Signos son diferentes pero con termino comun
Tal como parece, ahora debemos usar la Ley de los Signos para entender esto.
(x + a)(x - b) = x² + (a-b)x + ab
(x + 4)(x - 6) = x² - 2x - 24 = (x)(x) + (4-6)x + (4)(-6)
(x - 4)(x + 6) = x² + 2x - 24 = (x)(x) + (-4+6)x + (-4)(6)
Vemos alli que los dos binomios tienen en diferencia el signo, En lo cual ya que tenemos la Regla explicada en lo anterior. Pero vamos a intentar con el Ejemplo
(x + 4)(x - 6)
Se multiplica el 1er Termino de un Binomio cualquiera por el otro Binomio
x(x-6) = x² - 6x
Se multiplica el 2do Termino del mismo binomio determinado por el otro
4(x-6) = 4x - 24
Se suma los dos resultados: en lo cual queda asi: x² - 6x + 4x - 24,
Entonces el unico que se puede restar es la que esta subrayada
Una pequeña diferencia en los signos con los Coeficientes
Si el 4 y 6 hubiese intercambiado signos, el Resultado cambiaria en el 2do Termino
Ten en cuenta eso
Es decir el 4 era positivo y el 6 negativo, y dio, (x+4)(x-6) = x² - 2x - 24
Bueno pero si 4 fuese negativo y el 6 positivo... (x-4)(x+6) = x² + 2x - 24
Asi lo aplica la regla para el 2do Termino... Se suman productos de los terminos cruzados de los binomios,
Ten en cuenta tambien cuando ambos coeficientes sean negativos
Cuando una ecuacion este como: (x - 9)(x - 7) = Se sigue que queda como x² - 16x + 63
En el 1ero no afecta para nada.
En el 2do Termino se restan los coeficientes y estan multiplicados por la misma variable
En el 3er Termino se multiplica pero queda positivo, ya que se sigue que (-)(-) = +
Ejemplos:
(x+10)(x-6) = x² + 4x - 60
(x + 9)(x - 13) = 40x² - 7x - 91
4. Binomios con termino semejante
Algo asi ocurre cuando todos los terminos no son iguales, ni los 1eros terminos de los binomios. Pero cuando tienen la misma variante.
(7x + 5)(4x - 6) = 28x² - 22x - 30
Ten en cuenta a los cuatros terminos que se muestran, cada binomio tiene dos terminos
Para no confundirse En el 1er Binomio, el 1er Termino lo marcaremos de rojo, y el 2do Termino; de Naranja y en el 2do Binomio el 3ero; de Verde y 4to; de Azul
Para resolverlo debes seguir la regla para esto:
Para el 1er Termino: Debemos multiplicar los 1eros Terminos de cada binomio. (El 1ero y el 3ero).
Es decir que multiplicamos (7x)(4x) y obtenemos ''28x²''
Para el 2do Termino tenemos que usar la regla de los productos cruzados y luego sumarlos, Es decir, Para obtener el producto cruzado, Primero multiplica el 1er Termino por el 4to Termino, los que tienen menos en comun entre si, Y luego multiplica el 2do Termino por el 3er Termino, y ya obtenidos los dos productos cruzados los sumamos.
(7x)(-6) = -42x
(5)(4x) = 20x
(7x)(-6)+(5)(4x) = -42x + 20x = -22x
Recuerda que si tienen ambos binomios la misma variable o letra, puedes hacerlo directamente, Bien que la variable es ''x'' y tenemos (7)(-6) + (5)(4) = -42 + 20 = -22 y luego se multiplica por la variable osea; -22(El resultado) por ''x''(La variable) y obtenemos facilmente el resultado (-22x)
NOTA: El Producto cruzado originalmente se usa mas en las Fracciones pero tambien te puede hacer util para lo de los binomios.
Para el 3er Termino ya nomas hacemos lo mismo que en el 1ero, multiplicar los 2dos terminos de cada binomio (El 2do y el 4to),
Osea multiplicamos (5)(-6) = y obtenemos ''-30''
Y el resultado viene siendo: 28x² - 22x - 30
Se suman los tres resultados que obtuvimos repasando las reglas.
Ejemplos:
(21x - 9)(13x + 32) = 273x² - 555x - 288
(17x - 14)(10x - 6) = 170x² - 242x + 84
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd
Cuando los binomios tienen diferente variable
Cuando aparece algo asi como: (9a - 5)(4b + 12), Hacemos lo siguiente...
9a(4b + 12) = 36ab + 108a
-5(4b + 12) = -20b - 60ab
Y tenemos: 108a + 36ab - 60ab - 20b
Y obtenemos: 108a - 24ab - 20b
Cuando tenemos como: (6r + 11s)(4t + 13u)
6r(4t + 13u) = 24rt + 78ru
11s(4t + 13u) = 44st + 143su
El resultado no se puede simplificar por las variables semejantes
Y queda: 24rt + 78ru + 44st + 143su
Espero que te haya gustado este Aprendizaje de los Binomios Conjugados con los Binomios al Cuadrado, Hace mucho que no publico nada aqui, asi que pronto hare la Parte de los Binomios al Cubo. Gracias por leer esto. :)
