Solucion para ecuaciones de segundo grado (Cuadraticas)
La ecuacion que se utiliza para este tipo de problema es expresada y representada por un trinomio en el cual el exponente mas grande es 2.
Cada expresión algebraica representa algo para la ecuacion, En el cual en sus coeficientes, uno es cuadratico, otro es lineal y el ultimo termino es independiente.
La ecuacion quedaria expresada como
ax² + bx + c = 0
Las letras a, b, c son variables en el cual antes de empezar a resolver la ecuacion son sustituidos como valores para emplear la ecuacion. Donde "b" y "c" puede tener cualquier valor y "a" debe ser diferente a cero, de lo contrario no seria una ecuacion cuadratica.
La letra "x", es lo que estamos tratando de calcular.
La formula general para resolver ecuaciones de 2do grado es la siguiente:
x = (-b ± √Δ) / 2a
La discriminante
El simbolo "Δ" el cual se le conoce como la letra griega "delta", Recibe el nombre de la "Discriminante", Con ella podemos determinar la cantidad de raices. Al final, el valor "x", puede tener dos diferentes soluciones (2 raices), una solucion doble o raices complejas (numeros no existentes e imaginarios).
La discriminante es equivalente a:
Δ = b² - 4ac
Si la discriminante es positiva (>0), Tendra 2 soluciones diferentes
Si la discriminante es igual a cero, Tendra una solucion doble y unica
Si la discriminante es negativa (<0), Tendra 2 soluciones complejas (No habra solucion ya que los valores son inexistentes e imaginarios).
Ejemplos
Ejercicio #1
Hallar el valor de "x" de la ecuacion: 3x² - 4x - 6 = 0
Para hallar los valores de las variables a, b, c para utilizarlas en la formula general, hay que consultar la manera en la que se expresa una ecuacion cuadratica.
Podemos observar que queda asi: ax² + bx + c = 0, Ya que sustituimos los valores en el 1er caso, tenemos en cuenta que los valores de a, b, c son 3, -4 y -6 respectivamente.
a = 3, b = -4, c = -6
Primero hay que determinar la discriminante. La cual es:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4(3)(-6)
Δ = 16 - (-72)
Δ = 16 + 72
Δ = 88
En este caso la discrimante vale 88, y es positivo. Tendremos en cuenta que cuenta con dos posibles soluciones
Entonces simplificamos la formula general:
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (-(-4) ± √88) / 2(3)
Podemos simplificar √88
En este caso
√88 = 2√22 = 9.380831519...
Podemos utilizar 2√22 para mas simplificado (No pasa nada si prefieres usar la original, de todas maneras llegaremos al mismo resultados de las dos maneras.
x = (4 ± 2√22) / 6
x = (2 ± √22) / 3
x₁ = (2 + √22) / 3 = 2.230138586...
x₂ = (2 - √22) / 3 = -0.896805253...
Los dos valores que estan mostrados en negrita, son los valores y soluciones posibles para resolver la ecuacion.
Ejercicio #2
Hallar el valor de "x" de la ecuacion: 2x² + 4x + 2 = 0
Los valores correspondientes son:
Los valores correspondientes son:
a = 2, b = 4, c = 2
Primero hay que determinar la discriminante. La cual es:
Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4(2)(2)
Δ = 16 - 16
Δ = 0
En este caso la discrimante vale 0, y no es ni positivo ni negativo. Tendremos en cuenta que cuenta con una solucion doble y unica.
Entonces simplificamos la formula general:
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (-4 ± √0) / 2(2)
Es bastante obvio que la raiz cuadrada de 0, es igual a 0. Asi que ya que tiene un valor nulo, No habria necesidad de incluirla para sumar o restar.
x = (-4) / 4
x = -1
Solo obtenemos una solucion posible, ya que no importa si sumamos o restamos porque lo que estamos sumando o restando no es nada, y por lo tanto no afectara en mucho. En conclusion llegamos a que el resultado es el valor que esta en negrita.
Ejercicio #3
Hallar el valor de "x" de la ecuacion: 3x² - 5x + 8 = 0
Los valores correspondientes son:
Los valores correspondientes son:
a = 3, b = -5, c = 8
Primero hay que determinar la discriminante. La cual es:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4(3)(8)
Δ = 15 - 96
Δ = -81
En este caso la discrimante vale -81 y es negativa, Pero ya que se debe a que no se puede obtener la raiz cuadrada de un numero negativo, Por eso obtenemos soluciones que son valores imaginarios.
Entonces simplificamos la formula general para comprobar:
x = (-b ± √Δ) / 2a
x = (5 ± √(-81)) / 2(3)
La raiz no es igual a -9, El resultado que obtenemos se puede expresar por una unidad imaginaria, que no tiene valor existente.
Se expresa como "i", El cual si su unidad se eleva al cuadrado seria equivalente a -1.
i² = -1
Entonces al sacar la raiz cuadrada de -81, el resultado seria 9i
√(-81) = 9i
Sigamos tratando de resolver la ecuacion:
Se expresa como "i", El cual si su unidad se eleva al cuadrado seria equivalente a -1.
i² = -1
Entonces al sacar la raiz cuadrada de -81, el resultado seria 9i
√(-81) = 9i
Sigamos tratando de resolver la ecuacion:
x = (5 ± √(-81)= / 2(3)
x = (5 ± 9i) / 6
x = (5 ± 9i) / 6
x₁ = (5 + 9i) / 6
x₂ = (5 - 9i) / 6
Estos valores no podemos definir cuanto valen realmente, Matematicamente son numeros imaginarios que no tienen valor existente. Pero si intentamos sustituir uno de esos valores como valor de "x", Podemos obtener el resultado. Pero en conclusion, no tiene solucion posible.
Una formula mas reducida (a = 1)
Cuando la variable "a" es igual a 1. La expresion quedaria como:
x² + ax + b = 0
Ejercicio #4
Hallar el valor de "x" de la ecuacion: x² + 7x + 9 = 0
Usando la expresion reducida en el punto anterior. No mas tendriamos dos variables, en el cual
a = 7, b = 9
Entonces la discriminante y la formula general tambien cambiaria.
Δ = a² - 4b
x = (-a ± √Δ) / 2
Obtenemos la discriminante.
Δ = a² - 4b
Δ = 7² - 4(9)
Δ = 49 - 36
Δ = 13
Ahora resolvemos la ecuacion.
x = (-7 ± √13) / 2
x₁ = (-7 + √13) / 2 = -1.697224362...
x₂ = (-7 - √13) / 2 = -5.302775637...
Ecuaciones incompletas
Una ecuacion incompleta se refiere cuando no se incluye uno de los terminos algebraicos en el cual uno de ellos son nulos.
Vamos a ver que sale ;)
Ejercicio #5
Hallar el valor de "x" de la ecuacion: 2x² + 10x = 0
En este caso no hay termino independiente, solo tenemos termino cuadratico y lineal. El coeficiente del termino independiente es igual a cero.
Entonces tenemos que:
a = 2, b = 10, c = 0
La discriminante es equivalente al cuadrado de la variable "b"
Δ = b²
Δ = 10²
Δ = 100
Entonces para simplificar la raiz de la discriminante, podemos cambiarla por "b".
NOTA: La discriminante siempre sera mayor a cero, Por lo tanto en este caso tendras siempre dos soluciones, Al menos de que "b" sea igual a cero.
Entonces la formula general quedaria asi:
x = (-b ± b) / 2a
x₁ = 0
x₂ = -2b / 2b
x₂ = -b / a
x₂ = -10 / 2
x₂ = -5
Entonces en el ejercicio #5, los valores serian 0 y -5.
Ejercicio #6
Hallar el valor de "x" de la ecuacion: 3x² - 75 = 0
En este caso no hay termino lineal, solo tenemos termino cuadratico e independiente. El coeficiente del termino lineal es igual a cero.
Entonces tenemos que:
a = 3, b = 0, c = -75
La discriminante quedaria como:
Δ = -4ac
Obteniendo la discriminante:
Δ = -4ac
Δ = -4(3)(-75)
Δ = 900
x = ±√(-4ac) / 2a
x = ±√900 / 2(3)
x = ±30 / 6
x = ±5
x1 = 5
x2 = -5
Al darnos cuenta, tenemos dos valores diferentes, en el cual los valores correspondientes serian 5 y -5, En este caso podemos notar que son iguales los valores absolutos la unica diferencia seria el signo.
De hecho, Podemos resolver esta ecuacion con solo despejar, ya que solo interfiere un termino con la variable que queremos calcular, sin importar que numero de exponente sea.
La ecuacion es:
3x² - 75 = 0
Paso 1: Pasamos el termino independiente al otro lado.
3x² - 75 = 0
3x² - 75 + 75 = 0 + 75
3x² = 75
Paso 2: Dividimos ambos valores entre el coeficiente del termino cuadratico.
3x² = 75
3x²/3 = 75/3
x² = 25
Paso 3: Sacamos raices cuadradas de ambos valores
x² = 25
√x² = √25
x = ±5
Obtuvimos el mismo resultado, Pero veamos que pasaria si la variable "c" fuera positiva.
Ejercicio #7
Hallar el valor de "x" de la ecuacion: 3x² + 48 = 0
Entonces tenemos que:
a = 3, b = 0, c = 48
La discriminante quedaria igual como:
Δ = -4ac
Obteniendo la discriminante:
Δ = -4ac
Δ = -4(3)(48)
Δ = -576
x = ±√(-4ac) / 2a
x = ±√(-576) / 2(3)
x = ±24i / 6
x = ±4i
x1 = 4i
x2 = -4i
Ahora nos dimos cuenta que al haber cambiado de signo en la segunda variable, Obtuvimos valores imaginarios.
Sabemos basicamente que no podemos obtener la raiz de un numero negativo, entonces la diferencia entre el ejercico 6 y 7, fue que nomas se cambio el signo en la segunda variable y obtuvimos diferentes conclusiones.
Ejercicio #0
Este no es un ejercicio cualquiera. Este ejercicio es bastante comun. Por eso se llama Ejercicio #0
Este caso es referente cuando solo tenemos el termino cuadratico. No importa que valor sea "a", pero siempre el valor de la "x" sera cero.
ax² = 0
Porque sucede esto?
No importa si el cero se divide en cualquier numero ya que siempre dara cero, y si sacas raiz cuadrada de cero sera igual.
Entonces la solucion doble siempre sera cero.
Eso es todo lo que necesitamos saber para la solucion de ecuaciones de 2do grado.
