Las derivadas

Las derivadas

¿Que es una derivada?

En una función, Es un límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.

s

La variable "a", viene siendo como la "x" de la funcion f(x), La "h" es el incremento que tiende a cero en base al limite como se explico.

La razón por la que se añade la "h" es para determinar el incremento diferencial que hay al derivar una operación u ecuación.

Las formulas de las derivadas

En esta sección vamos a poner las formulas y vamos a explicar cada una de ellas.

1. Derivada de una constante.

f(x) = k

f'(x) = 0

"k" seria una constante

En esta primera formula vemos claramente que al derivar una constante el resultado nos sale nulo, es como si la "k" fuera un numero, entonces no se generaría ninguna sola diferencia al tratar de llevar a cabo esto, por lo tanto la derivada de una constante es nula.

2. Derivada de "x"

f(x) = x

f'(x) = 1

Claramente estamos derivando "x", entonces como "x" consideramos el valor, en fin la función "f(x)" hace que estemos a función de la variable "x", por lo que nuestras ecuaciones para derivar dependerán de "x", Por lo tanto si quisieramos sustituir unos numeros consecutivos uno por uno, la diferencial seria 1, ya que no lleva coeficiente

En otro caso si la ecuación fuera asi

f(x) = 2x

La derivada seria 2, ya que esa es su diferencial de "x"

3. Derivada de una función lineal

f(x) = ax + b

f'(x) = a

Aqui tenemos otro caso, la función que tenemos se trata de un binomio, en el cual se incluye un termino lineal y el otro independiente, En este caso el lineal contiene una variable "x", y el otro termino independiente no lo trae, en conclusión la derivada de esa función terminaría siendo el equivalente a la variable "a" y mientras que el otro termino independiente queda eliminado por no contener la "x" ya que de ese termino no se genera diferencia.

Ejemplo:

f(x) = 5x + 3

f'(x) = 5

4. Derivada de una potencia

f(x) = u^n

f'(x) = n * u^(n-1)

Ejemplo:

f(x) = 2x^3

f'(x) = 3 * 2x^(3-1)

f'(x) = 6x^2

Cuando tengamos que derivar una función con potencia, hay que tomar en cuenta el termino que se esta elevando y el valor de la potencia, La derivada seria igual a multiplicar la función original es decir como ven en el ejemplo, Se multiplica esa misma función original sin derivar por la potencia en la que se eleva a la variable "u" y al final se le resta 1 a la potencia de la que se trate.

5. Derivada de una raíz cuadrada

√, es el símbolo de la raíz cuadrada.

f(x) = √u

f'(x) = u' ÷ (2√u)

Cuando tenemos una raíz cuadrada, tenemos que convertirla a fracción la cual seria lo mismo: √u = u^(1/2), De acuerdo a las propiedades de las raices y potencias.

Entonces derivamos primero la "u" y la derivada lo que salga seria como un coeficiente para la respuesta final, Ya restandole 1 al exponente obtenemos como nuevo exponente -1/2, entonces nos quedaria asi la respuesta: u' * 1/2 * u^(-1/2)

Cuando tengamos un exponente negativo en el numerador, para pasarlo a positivo tendriamos que pasarlo al denominador, de acuerdo a las propiedades de exponentes y raices. Entonces tenemos en cuenta que es lo mismo x^(-2) que 1 / x^2

Asi nos quedaria: 1/2 * u' ÷ u^(1/2), y convirtiendo la fraccion a raiz: u' ÷ 2√u

El numero "2", aparece porque como vimos en la formula anterior, se multiplica por el exponente del que se trataba, en este caso se multiplico por la mitad, por lo tanto tendriamos una division entre 2 aplicada factorizadamente.

Esta formula se puede hacer con la Formula 4 que mencione arriba, solo hay que pasar los exponentes al numerador y convertir las raices a exponente fraccional.

En conclusion, el valor del exponente o potencia al aplicar esta quinta formula siempre sera 1/2, y siempre resultara una division entre 2.

Ejemplo:

f(x) = √(5x)

Teniendo esta formula 

f(x) = √u

f'(x) = u' ÷ (2√u)

Entonces tenemos en cuenta que "k" es el coeficiente (aunque no aparezca, en caso de que apareciera tendria que multiplicarse el resultado por el coeficiente).

La "u" es la expresion algebraica que esta dentro de la raiz y hay que derivar

En este caso la derivada de 5x seria 5

Por lo tanto quedaria asi

f'(x) = 5 ÷ [2√(5x)]

f(x) = 5 ÷ [2√(5x)]

6. La derivada de una función con exponente fracciónal.

f(x) = ku^(a/b)

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

k = Coeficiente

u = Una expresión algebraica

a = El numerador del exponente

b = El denominador del exponente

f(x) = 4x^(5/3)

k = 4, u = x, a = 5, b = 3

NOTA: Las operaciones como las raices y potencias no se llegaran a entender muy bien ya que esto lo estoy escribiendo a base en texto, por lo tanto estoy poniendolas a partir de que los exponentes están en fracción.

Tomando en cuenta ese ejemplo de operacion:

Volvamos a poner la formula:

f(x) = ku^(a/b)

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

f(x) = 4x^(5/3)

k = 4, u = x, a = 5, b = 3

Tenemos los valores y la función, A la respuesta le sustituimos dichos valores.

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

f'(x) = (5)(4)(1)*x^(5/3 - 1) ÷ 3

f'(x) = 20x^(2/3) ÷ 3

La respuesta es asi ya que tenemos en cuenta que lo que multiplicamos es la derivada de "u", luego el coeficiente, la variable de "u" permanecía pero se le restaba un entero a la fracción y el numerador del exponente se multiplicaba y como el exponente era una fracción, se dividia entre el denominador del exponente, Tenemos en cuenta que el exponente es un factor de multiplicación para obtener nuestra respuesta.

NOTA: Ya de alli no lo convertire a raiz ya que no tengo como escribirlo en fracción, pero ustedes mismos podrán hacerlo ;)

Si no se entendio este procedimiento, les sugiero que vean acerca de la "Regla de la Cadena".

7. La derivada de una suma o resta.

f(x) = u ± v

f'(x) = u' ± v'

Supongamos que las variables "u" y "v", son expresiones algebraicas, funciones o mas bien monomios, en este caso alli podemos aplicar lo que aprendimos con las primeras cuatro formulas, supongamos la siguiente funcion.

f(x) = 5x^3 + 4x^2

El primer monomio es 5x^3, y el segundo es 4x^2.

Tenemos que derivar cada uno de los monomios.

Ya derivados tenemos "15x^2" y "8x" respectivamente.

Entonces respectivamente dependiendo de donde correspondan dichos terminos, quedara asi la ecuación:

f(x) = 5x^3 + 4x^2

f'(x) = 15x^2 + 8x

8. Derivada de un producto.

f(x) = u * v

f'(x) = u' * v + u * v'

Tenemos la siguiente función a resolver:

f(x) = (7x^5)(6x^4)

u = 7x^5, v = 6x^4

Derivamos dichas funciones, por lo tanto obtendremos:
u' = 35x^4, v' = 24x^3

Tenemos los datos suficientes para sustituir la respuesta

f(x) = u * v

f'(x) = u' * v + u * v'

Entonces, sustituimos lo que esta subrayado arriba.
Tenemos los datos:
u = 7x^5, u' = 35x^4
v = 6x^4, v' = 24x^3

Sustituyendo dicha formula subrayada tenemos lo siguiente:
f'(x) = u' * v + u * v'
f'(x) = (35x^4)*(6x^4) + (7x^5)*(24x^3)
f'(x) = (210x^8) + (168x^8)
f'(x) = 378x^8

Para resolver mediante esta formula que nos sirve para derivar un producto, tenemos dos terminos en dicha función, tenemos que derivar ambos terminos, entonces la respuesta seria equivalente al producto de la derivada de "u" y la función "v" mas el producto de la derivada de "v" y la función "u".

9. Derivada de un cociente

f(x) = u / v

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

Tenemos la siguiente función a resolver:

(8x^7) / (3x^4)

Tenemos que:

u = 8x^7, v = 3x^4

Sustituimos dichos terminos o funciones.

Nos quedaria:

u' = 56x^6. v' = 12x^3

Tenemos los datos suficientes para sustituir dicha respuesta:

f(x) = u / v

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

Sustituimos lo que tenemos arriba, tenemos los sig. datos:

u = 8x^7, u' = 56x^6

v = 3x^4, v' = 12x^3

Recordemos que tenemos que hacer una división donde elevamos la función "v" al cuadrado, por lo tanto: v^2 = (3x^4)^2 = 9x^8

Sustituyendo dicha formula que deba resultar tenemos que:

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

f'(x) = [(56x^6)*(3x^4) - (8x^7)*(12x^3)] / 9x^8

f'(x) = [168x^10 - 96x^10] / 9x^8

f'(x) = (72x^10) / 9x^8

f'(x) = 8x^2

10. Derivada de una constante partida por una función

f(x) = k / u

f'(x) = -k * u' / u^2

Por ultimo tenemos esta formula en el cual se trata de una función donde tiene que ver con inversas o reciprocas, La variable "u" cuyo exponente o potencia sera igual a -1, y como resultado al derivar terminara con una potencia de -2, luego se multiplicara por el dicho exponente osea por -1, y por la derivada de "u", tal como se ve en la formula, mientras que la "k" es un factor o un coeficiente, Vamos a aplicarla:

u = x, u' = 1

f(x) = 12 / x

f'(x) = -12 * 1 / x^2

f'(x) = -12 / x^2

Podemos considerar que f(x) = 12 / x, es igualito a f(x) = 12x^(-1), haciendo lo de la formula 4, podemos llegar a la misma respuesta.

Es decir se multiplica dicha función por el exponente y se le resta 1 al exponente del que se trate.

Entonces: (-1)*12x^(-1-1) = -12x^(-2) = -12 / x^2

Conclusion de las derivadas

Todavía quedan mas formulas de derivadas por poner por mientras puse las formulas de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias, raices...

Hay mas formulas que son logaritmicas, exponenciales y trigonómetricas.

Muy pronto hare otra entrada como esta pero continuando con las formulas.

Estense atentos :), Muchas gracias por su atención.